Fino ad ora quanto detto è stato più che altro discorsivo. Comunque i seguenti risultati dovrebbero essere abbastanza chiari:
- esiste una corrispondenza biunivoca tra la coppia di numeri (x, y) e il punto di coordinate (x, y) nel piano cartesiano;
- una retta è un particolare insieme di punti del piano cartesiano: tutti i punti che soddisfano una certa relazione tra le coordinate y e le coordinate x appartengono a una retta.
La relazione che definisce una retta prende il nome di equazione della retta: essa lega la coordinata y di un punto alla coordinata x dello stesso punto mediante una uguaglianza. Se l’uguaglianza è soddisfatta il punto appartiene alla retta, se non è soddisfatta esso non appartiene alla retta.
Se qualcuno di questi concetti non fosse ancora chiaro, non ti preoccupare: prima di andare avanti però ti consiglio di rivedere le schede precedenti.
Ovviamente non tutte le relazioni che legano la y con la x daranno luogo a una retta, ad esempio la equazione y = x*x (x per x) non dà luogo a una retta (sapresti disegnare su un grafico almeno 4 punti che soddisfano la relazione precedente? Sono questi punti allineati?).
Di seguito ricaveremo (nel senso che dimostreremo) l’equazione della retta in forma esplicita. Ti ricordo che la forma esplicita di una equazione e la forma implicita si riferiscono semplicemente al modo in cui l’equazione è scritta. Ad esempio l’equazione 3x + y –2 = 0 è una equazione in forma implicita, mentre y = -3x +2 è la stessa equazione scritta in forma esplicita (Sei convinto del fatto che sia la stessa equazione?). Quando diciamo di voler ricavare l’equazione della retta in forma esplicita vuol dire che la ricaveremo nella forma y = …..
La dimostrazione dell’equazione di una retta in forma esplicita è riportata da tutti i libri di testo; naturalmente non è detto che tutte le dimostrazioni, pur conducendo alla stesso risultato, siano uguali. Allo scopo di ricavare l’equazione della retta in forma esplicita, cioè la relazione tra la coordinata y e la coordinata x di un punto appartenente alla retta consideriamo la seguente figura:
In essa è rappresentata una generica retta r (generica nel senso che su di essa non facciamo nessuna particolare ipotesi). A, B e I sono punti che appartengono alla retta, mentre A’, B’ e O non lo sono. In particolare siano (0, q) le coordinate del punto I che è dato dall’intersezione della retta r con l’asse delle y. Osserviamo che la coordinata x del punto I deve essere per forza zero, altrimenti il punto P non si troverebbe sull’asse y. Inoltre abbiamo indicato con q la coordinata y del punto I, in quanto non vogliamo assegnare ad essa nessun valore particolare. Dovrebbe essere abbastanza chiaro che il segmento OI è lungo q.
Poiché i triangoli IA’A e IB’B sono simili (avendo i tre angoli uguali) essi sono tali che il rapporto tra due lati di un triangolo è uguale al rapporto tra i lati corrispondenti dell’altro triangolo:
AA’ : IA’ = BB’ : IB’
A questo punto osserviamo che sui punti A e B non è stata fatta alcuna ipotesi, essi sono cioè due punti qualsiasi della retta r. Inoltre i segmenti orizzontali dei due triangoli sono dati dalla coordinata x del punto sulla retta, mentre quelli verticali dalla coordinata y diminuita della quantità q. La relazione di proporzionalità scritta sopra ci dice allora che per un qualunque punto con coordinate (x, y) della retta il rapporto (y – q)/x = costante. La figura seguente riassume quanto detto:
Dunque data una qualsiasi retta nel piano cartesiano, che incontra l’asse y nel punto (0, q), per ogni punto di coordinate (x, y) che si trova sulla retta deve essere soddisfatta la relazione (y – q)/x = costante. Di seguito è riportata una retta che abbiamo già incontrato in uno degli articoli precedenti:
Sapresti dire quali sono le coordinate del punto di intersezione con l’asse y? Quanto vale q?
Qual è la costante della retta? (Per rispondere a questa domanda basta prendere un punto della retta, ad esempio il punto (2, 2) ed eseguire il rapporto (y-q)/x che nel caso in esame è dato da (2-1)/2 e quindi la costante della retta in figura è ½. Qualunque altro punto della retta darà luogo allo stesso valore della costante (prova ad eseguire il rapporto con altri due o tre punti). Invece, un punto che non appartiene alla retta, ad esempio il punto (3,3) darà luogo a un altro valore.
Poiché scrivere costante è troppo lungo, si preferisce indicare questa quantità con una lettera. Tradizionalmente si sceglie la lettera m. La relazione che definisce la retta è data allora da:
$(y-q)/x = m$
Eseguendo alcuni passaggi algebrici la precedente si scrive:
$y = mx + q$
che rappresenta l’equazione in forma esplicita della retta.
Esercizio
Disegnare la retta di equazione y = 3x. Quanto vale m in tale equazione? Quanto vale q? Qual è il punto di intersezione di questa retta con l’asse y? E con l’asse x? Il punto di coordinate (1, 3) appartiene alla retta? E quello di coordinate (2, 2)?