Con il permesso gentilmente accordato dall’autore riproponiamo un articolo del Prof. Leonardo Lanari pubblicato su E Polis Roma del 20 marzo 2007 all’interno della rubrica “Geometrie esistenziali”. Segue un esempio di applicazione del metodo descritto nell’articolo.
Metodo Montecarlo: fateci caso
Vi trovate seduti in un parco durante una piacevole giornata primaverile e notate, ai vostri piedi, una figura curvilinea precedentemente tracciata nella terra da un bambino. Non avendo niente di meglio da fare, vi chiedete quale sarà l’area della superficie racchiusa dalla figura. Con un bastoncino tracciate un bel quadrato di dimensioni a voi note che racchiuda la figura e prendete una manciata di sassolini che buttate a caso nel quadrato. A questo punto vi mettete a contare quanti sassolini sono caduti nel quadrato e quanti all’interno della figura. Il rapporto di tali numeri coincide, in prima approssimazione, con il rapporto delle aree del quadrato e della figura. Se ripetete l’esperimento molto probabilmente la vostra stima migliorerà. Vi siete trovati di fronte a una situazione nella quale effettuare una valutazione analitica è molto difficile e avete fatto ricorso a un’indagine di tipo statistico nota come metodo Monte Carlo, dal nome della città del Principato di Monaco che ricorda la casualità dei risultati nelle case da gioco. Tale metodo rientra nella classe delle tecniche statistiche basate sull’uso di numeri casuali e della probabilità statistica, metodo pubblicato nel 1949 da N. Metropolis e S. Ulam, due scienziati dei laboratori di Los Alamos e venne utilizzato per lo studio delle reazioni nucleari a catena. A seguito di un urto tra un neutrone e un nucleo, si conosce solo la probabilità che il nucleo si scinda e siano prodotti altri neutroni e quindi si possono effettuare delle simulazioni di tipo probabilistico. Oggi le simulazioni Monte Carlo trovano applicazione in una vasta gamma di settori: dalla fisica delle particelle al calcolo di integrali in matematica, in economia per la valutazione degli investimenti fino agli studi sull’affidabilità. La storia ci racconta non solo che il nome fu suggerito da Metropolis, in onore di uno zio di Ulam che voleva soldi in prestito per andare a giocare a Monte Carlo, ma che lo stesso metodo fu una quindicina di anni prima utilizzato da Enrico Fermi nei suoi calcoli per prevedere l’esito dei suoi esperimenti. Peccato che Fermi non rese pubblico questo suo metodo che oggi poteva forse invece chiamarsi Metodo Roma o Metodo Panisperna.
Leonardo Lanari
Allo scopo di presentare una pratica applicazione del Metodo Montecarlo, proviamo a realizzare un esperimento seguendo quanto descritto nell’articolo aiutandoci con un Foglio di Calcolo. Consideriamo un cerchio di raggio 1 inscritto in un quadrato di lato 2, come quello rappresentato nella figura seguente:
L’area del cerchio è nota: si ricava dalla formula $A=\pi r^2=\pi$. In alternativa possiamo provare a calcolarla con il Metodo Montecarlo a partire dall’area del quadrato circoscritto, pari a 4, seguendo la seguente procedura:
- tramite foglio di calcolo procediamo con l’estrazione casuale di n punti che hanno coordinate ricadenti all’interno del quadrato
- contiamo i punti che ricadono all’interno del cerchio (si può fare calcolando la distanza di ciascun punto dal centro del cerchio confrontandola poi con il raggio)
- calcoliamo il rapporto k tra il numero di questi punti e i punti totali n ($k\leq1$)
- moltiplichiamo k per l’area del quadrato ottenendo una stima dell’area del cerchio
Allo scopo di migliorare la stima possiamo ripetere l’estrazione ad esempio per 10 volte e calcolare il valore medio dell’area determinata ad ogni estrazione. Di seguito si riportano i risultati ottenuti considerando 10 punti, 100 punti e 1000 punti.
La figura sopra riportata descrive il caso che si verifica negli esperimenti n. 5 e n. 6:
- punti all’interno del cerchio: 8
- $k=\frac{8}{10}=0,8$
- Stima dell’area del cerchio $A = 0,8\cdot4=3,2$
In base agli esiti degli esperimenti sopra riportati si possono fare le seguenti considerazioni qualitative relative all’applicazione del Metodo Montecarlo:
- la stima effettuata con una singola estrazione migliora all’aumentare del numero di punti n considerati
- calcolando la media delle stime di più estrazioni con uguale numero di punti n si ottiene una stima migliore rispetto a quella ottenuta dalle singole estrazioni